Что такое транспонирование
Транспонированная матрица Aт получается из A заменой строк на столбцы: элемент, стоявший в строке i и столбце j, переходит в строку j и столбец i. Матрица размера m×n после транспонирования становится размером n×m — например, из 2×3 получится 3×2.
Пример
A = [[1, −2, 3], [4, 0, 5]] — матрица 2×3
Первая строка (1, −2, 3) становится первым столбцом.
Вторая строка (4, 0, 5) становится вторым столбцом.
Aᵀ = [[1, 4], [−2, 0], [3, 5]] — матрица 3×2.
Свойства
Транспонирование дважды возвращает исходную матрицу: (Aᵀ)ᵀ = A. Сумма транспонируется почленно: (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. А при транспонировании произведения матрицы «меняются местами и транспонируются»: (AB)ᵀ = Bᵀ · Aᵀ. Если A = Aᵀ, матрицу называют симметричной — на таких матрицах построены, например, квадратичные формы. Определитель при транспонировании не меняется: det A = det Aᵀ, это можно проверить в калькуляторе определителя для любой квадратной матрицы.