Что такое обратная матрица
Обратная матрица A⁻¹ — такая, что A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E, где E — единичная матрица. Она существует только для квадратных матриц с определителем, не равным нулю. Обратная матрица нужна, например, чтобы решить матричное уравнение AX = B: тогда X = A⁻¹B.
Метод Гаусса — Жордана
Практичный способ найти A⁻¹ — построить расширенную матрицу [A | E], приписав справа единичную матрицу, и элементарными преобразованиями строк привести левую часть к единичной матрице. Что при этом получится справа — и есть A⁻¹. Действия те же, что при решении систем методом Гаусса: перестановка строк, деление строки на число, вычитание из одной строки другой, умноженной на число.
Пример: обратная матрица 3×3
Матрица A = [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]]
Определитель: det A = 4 (не равен нулю — обратная матрица существует).
После приведения [A | E] к виду [E | A⁻¹] получаем A⁻¹ = [[3/4, −1/4, −1/4], [−1/4, 3/4, −1/4], [−1/4, −1/4, 3/4]].
Проверка: A · A⁻¹ = E — все элементы вне диагонали обнуляются, на диагонали остаются единицы.
Для матриц 2×2 есть и короткая формула: A⁻¹ = (1 / det A) · [[d, −b], [−c, a]] для A = [[a, b], [c, d]]. Для больших матриц удобнее метод Гаусса — Жордана, который использует калькулятор выше и показывает каждый шаг. Сам определитель можно посмотреть отдельно в калькуляторе определителя.