Развёрнутая форма числа
Любое число в позиционной системе — это сумма цифр, умноженных на основание в степени номера разряда. Разряды нумеруют от запятой: влево 0, 1, 2…, вправо −1, −2… Перевод в десятичную систему сводится к тому, чтобы записать эту сумму и посчитать её обычной арифметикой:
где q — основание системы. Буквы сначала заменяют их значениями: A = 10, B = 11 и так далее до Z = 35.
Пример: 3AF₁₆ и 2107₈
Два числа из разных систем
3AF₁₆ = 3·16² + 10·16¹ + 15·16⁰ = 768 + 160 + 15 = 943.
2107₈ = 2·8³ + 1·8² + 0·8¹ + 7·8⁰ = 1024 + 64 + 0 + 7 = 1095.
Степени оснований
| Основание | q⁰ | q¹ | q² | q³ | q⁴ |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| 3 | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 |
| 5 | 1 | 5 | 25 | 125 | 625 |
| 8 | 1 | 8 | 64 | 512 | 4 096 |
| 16 | 1 | 16 | 256 | 4 096 | 65 536 |
Схема Горнера — без степеней
Если степени считать неудобно, идите по цифрам слева направо: результат умножайте на основание и прибавляйте следующую цифру. Для 2107₈: 2 → 2·8 + 1 = 17 → 17·8 + 0 = 136 → 136·8 + 7 = 1095. Ответ тот же, а умножать приходится только на основание. Калькулятор расписывает развёрнутую форму — так решение оформляют в школе.
Для двоичных чисел есть отдельная страница с приёмами для степеней двойки — «Из двоичной в десятичную».